图书出版的本量利分析

　　本量利是成本、销售量和利润的简称。本量利分析又称盈亏临界眯分析或保本点分析，它是在成本习性分析的基础上，研究企业生产经营成本、销售量和利润之间的依存关系以及其变化规律，从而为企业的经营管理提供市场反馈信息的一种技术分析方法。

　　对出版业而言，通过本量利分析可以提供本企业的保本印销量和销售额，找出成本、印销量和利润之间的内在联系，为出版的各个环节提供有力的分析数据，使这三者处于一种较为合理的配置状态，以较少的投入而获得较大的产品。

　　下面通过具体资料，分析比较一下图书的销售收入，成本和利润之间的关系，为出版经营管理者在市场经营决策过程中提供一些有力的数据分析资料。某科技出版社历年的经营资料，农村科普读物这类图书平均为17印张，印数上万时的单位印张价格为0.43元/印张，经过整理，其印销量与其销量收入以及成本之间存在如下数据关系：

　　农村科普图书销量与收入成本表 单位：元

印销量（本）	销售收入	销售总成本
1000	9420	16850
2000	18680	23800
3000	28500	30850
4000	36720	38000
5000	45500	45250
6000	54120	52600
7000	62580	60050
8000	70880	67600
9000	79020	75250
10000	87000	83000
11000	94820	90850
12000	102480	98800
13000	109980	106850
14000	117320	115000
15000	124500	123250
16000	131520	131600

　　通过设销量为x，销售单价为p，变动成本斜率为b，固定成本为a，建立销售收入函数为T_R=px，以及成本函数T_C=a+bx，通过计算求出此类图书的盈亏临界点。

　　首先找出销售收入对于销售量的函数，根据以上资料，当印销数量为1000本时，销售收入为9420元，此时单价为9.42元，当印销数量为16000本时，销售收入为131520元，此时单价为8.22元。为了分析问题的方便，假设销售收入是印销量的线性函数，其平均价格为8.82元（9.42+8.22/2），则收入函数T_R=8.82X。其次找出成本对于印销理的函数，同样为了考虑分析问题的简便，假设成本也是印销量的线性函数，根据以上资料，利用数学高低点法计算出a和b。b=Y_H-Y_L/X_H-X_L=131600+16850/16000-1000=114750/15000=7.65,a=Y
_M-bH_X=131600-7.65×16000＝9200，则成本函数T_C＝9200＋7.65x，计算盈亏临界点，令T_R=T_C，则8.82x=9200+7.65x，计算求出x大约等于7863本。

　　通过以上计算得知该类农村科普读物的保本印销量为7863本时，即为盈亏临界点，当印销量超过7863本时，这类图书就会产生盈利；否则，当印销量不足7863本时，这类图书就会产生亏损（见图一）。



图一

　　上述资料的分析以及盈亏临界点的计算，都是在销售收入和成本与印销量之间完全呈线性关系的假设前提下所进行的。然而，实际工作中的情况要复杂得多，其影响的因素也是多元的，销售收入和成本与印销量之间往往不是一种简单的线性关系。如上述资料中，当印销量为1000本时，其平均价格为9.42元，而在印销量为16000本时，其平均价格仅为8.22元，这是因为出版发行部门在推销图书的发行过程中，会给予对方客户一定的销售折扣，并随关其发行数量的增加而有所加大。

　　由此看来，上述某科技出版社的农村科普读物的销售收入与其印销量之间不是一种简单的线性关系；其成本与印销量之间也不是一种简单的线性关系；戎成本与印销量之间也不是一种简单的线性关系。事实上，农村科普读物是该出版社的微利产品，列于计划亏损产品之列，甚至随着此类读物印销量的扩大，其亏损也会加大。显然，这与上述所采用的线性本量利分析法所分析计算的结果不相一致。要想正确反映该出版社农村科普读物印销量与收入成本之间的关系，就需要对线性本量利分析法加以修正，引入非线性条件下的本量利分析。通过对上述农村科普读物量与收入成本资料所提供的数据进行绘图（见图二），可以清楚地看到收入成本与印销量之间呈现着二次曲线关系。二次曲线的标准方程为y=a+bx+cx
²。



图二

　　现根据上述科技出版社农村科普图书印销量与收入成本表的资料，建立起收入曲线：T_R=a+bx+cx
²，利用列表法，计算出该收入曲线的系数a、 b和c，见下表：

　　

单位：千元

y	x	xy	x2	x2y	x3	x4
9.42	1	9.42	1	9.42	1	1
18.68	2	37.36	4	74.72	8	16
28.50	3	85.50	9	256.50	27	81
36.72	4	146.88	16	587.52	64	256
45.50	5	227.50	25	1137.50	125	625
54.12	6	324.72	36	1948.32	216	1296
62.58	7	438.06	49	3066.42	343	2401
7088	8	567.04	64	4536.32	512	4096
79.02	9	711.18	81	6400.62	729	6561
87.00	10	87.00	110	8700	1000	10000
94.82	11	1043.02	121	1147.322	1331	14641
102.48	12	1229.76	144	14757.12	1728	20736
109.98	13	1429.74	169	18586.62	2197	28561
117.32	14	1642.48	196	22994.72	2744	38416
124.50	15	1867.50	225	28012.50	3375	50625
131.52	16	2104.32	256	33669.12	4096	65536
∑y=1173.04	∑x=136	∑xy=12734.48	∑x2=1496	∑x2y=156210.64	∑x3=18496	∑x4=243848

　　建立方程组A

　　A{
y=na+bx+cx²
xy=ax+bx²+cx³
x²y=ax²+bx³+cx⁴

　　将表中计算出的数据代入方程组A得到方程组B
B{
1173.04=16a+1366b+1496c
12734.48=136a+14966b+18496c
156210.64=1496a+18496b+243848c

　　通过解联列方程组B，计算出a=0,b=9.5，以及c=-0.08（计算过程略），将系数a、b和c代入收入曲线TR，则收入曲线TR=9.5x-0.08x²。

　　同样方法根据上述科技出版社农村科普图书印销量与收入成本表的资料，建立成本曲线：TC=a+bc+cx²，计算出该成本曲线的系数a、b和c，利用列表法求出：∑y=1159.6、∑x=136、∑xy=12457.61、∑x²=1496、∑x²y=152925.20、∑x³=18496和∑x⁴=243848（图表略）。

　　建立方程组C

　　C{
y=na+bx+cx²
xy=ax+bx²+cx³
x²y=ax²+bx³+cx³

　　将上述计算出的数据代入方程组C得到方程组D

　　D{
1159.6=16a+136b+1496c
12457.61=136a+1496b+18496c
152925.2=1496a+18496b+243848c

　　通过解联列方程组D，计算出a=10,b=6.8，以及c=0.05（计算过程略），将系数a、b和c代入成本曲线TC，则成本曲线TC=10+6.8x+0.05x²。

　　根据收入曲线T_R和成本曲线T_C，计算该类图书的非线性本量利盈亏临界点。

　　令T_R＝T_C，则9.5x-0.08x²=10+6.8x+0.05x2，通过整理得0.13x²-2.7x+10=0，利用求根公式X_1、2＝-b±b²-4ac/2a求出x，x₁=2.7 7.29-5.2/0.26≈15.945（千本），x₂=2.7 7.29-5.2/0.26≈4.824（千本）

　　通过上述计算得知，该科技出版社农村科普图书类的盈亏临界高点为X₁等于15945本，X₂（低点）等于4824本，即该类图书的印销量应控制在4824本至15945本之间的范围内，印销量在这个范围内都会产生盈利，超过这个范围，该类图书就会发生亏损。但是在4824本到15945本之间到底应该印销该图书多少数量，才会获得最大效益，下面可以利用极值方法来解决问题。

　　设利润为m，则m=T_R-T_C,m(9.5x-0.08x²)-(10+6.8x+0.05x2),m=2.7x-0.13x²-10。极大值的条件是dm/dx=0,d²m/dx2＜0，同时x≥0。m=2.7x-0.13x²-10，dm/dx＝2.7-0.26x，d²m/dx2＝－0.26＜0，且x≥0，满足条件，有极大值而且是最大值。dm/dx=2.7-0.26x＝0，x=10.385（千要），当印销量为10385本时，此时能获得最大利润，将x等于10.385代入m=T_R-T_C中进行计算，得m=2.7×10.385-0.13x(10.385)²-10≈4.019（千元）。

　　经过计算，得出当科技出版社农村科普图书的印销量为10385本时，能获得最大利润为4091元。

　　通过对该科技出版社农村科普类图书本量利的非线性分析计算，可以看出对于某些微利产品或计划亏损产品的合理印销，不但能减少亏损，甚至还能扭亏为盈，获得最大利润。

　　上述这些分析和计算在实际工作中具有一定的现实意义。当然，这些分析和计算与收集资料的取值范围具有一定的联系，其影响的因素和条件也是多种多样的，当取值超过一定范围时，则需重新建立数学模型，然后再进行分析和计算。■

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